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Sur ce bâtiment (autrefois Bibliothèque des sciences), nous pouvons apercevoir de nombreuses lettres de l’alphabet grec, dont π (pi minuscule) et Σ (Sigma majuscule) :
Le nombre π est très utilisé en sciences, en particulier en physique, mathématiques ou encore en ingénierie. Il vaut environ 3,141592... et il fait partie de la famille des nombres irrationnels : sa partie décimale ne se répète pas et est infinie.
Comme π, la lettre Σ, apparaît souvent dans certains domaines des sciences et, en mathématiques, symbolise une somme. Par exemple :
Ici, au lieu d’écrire tous les termes de la somme, on la "résume" grâce au Σ : on remplace la valeur de i par 1, puis 2, puis 3… jusqu’à 100 et on les additionne. Cette somme est la somme de Gauss.
La lettre π (pi)
La lettre grecque π correspond à la constante de proportionnalité entre le diamètre et le périmètre d’un cercle, elle est d’ailleurs la première lettre du mot "périmètre" en grec : περίμετρος.
Cette lettre π est également appelée constante d’Archimède puisqu’il a été le premier mathématicien à montrer que sa valeur est comprise entre 223/71 et 22/7. Pour cela, il a calculé l’aire d’un polygone à 4 côtés (carré) à l’intérieur d’un cercle et dont ses sommets sont sur le cercle, puis il a refait ses calculs en augmentant le nombre de côtés afin de donner une estimation de l’aire du cercle.
Maintenant, π est très utilisé au sujet des nombres complexes, notamment dans la formule d’Euler qui consiste à écrire le nombre sous forme exponentielle, son argument est alors donné en fonction de π grâce au cercle trigonométrique. Voici un exemple de nombre complexe sous forme exponentielle :
Estimation du rayon de la Terre
Dans l’Antiquité, Erathostène, un grand mathématicien et savant grec, a estimé le diamètre de la Terre en se servant de π.
Il a remarqué que le soleil était à la verticale à midi le premier jour de l’été à Syène, mais au même moment, le soleil était incliné de 7° avec la verticale à Alexandrie. Sachant que ces deux villes sont séparées par environs 800 km, il a ainsi déterminé une approximation de la circonférence et du rayon de la Terre, et donc son diamètre.
Avec ces informations, il a calculé la circonférence de la Terre en faisant 360 × 800, et le tout divisé par 7 qui correspond à l’angle d’inclinaison. Il trouve alors ~41100 km. Actuellement, elle mesure 40075 km, ces valeurs sont assez proches.
Pour le rayon, il l’a calculé en faisant le résultat trouvé ci-dessus divisé par 2π. Il trouve alors ~6460 km. Le rayon moyen actuel vaut 6371 km.
La lettre Σ (Sigma)
La somme de Gauss se nomme ainsi puisque c’est lui-même qui a découvert la formule qui permet de la calculer plus simplement : il suffit d’écrire tous les termes de la somme à la suite, puis de les réecrire en dessous mais en partant du dernier et on fait la somme, voici un exemple lorsqu’on fait 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 :
On obtient alors 10 × 11. Mais ce résultat et celui de 2 × la somme demandée. Le résultat de cette somme se trouve alors en faisant (10 × 11) / 2.
On note alors
et on lit « la somme pour i allant de 1 à 10 vaut (10 × 11) / 2 ».
Dans le cas d’une somme d’entiers consécutifs de 1 jusqu’à n, on résume la formule ainsi :
Bibliographie
Réponses aux questions
Le nombre π est très utilisé en sciences, en particulier en physique, mathématiques ou encore en ingénierie. Il vaut environ 3,141592... et il fait partie de la famille des nombres irrationnels : sa partie décimale ne se répète pas et est infinie.Comme π, la lettre Σ, apparaît souvent dans certains domaines des sciences et, en mathématiques, symbolise une somme. Par exemple :
Ici, au lieu d’écrire tous les termes de la somme, on la "résume" grâce au Σ : on remplace la valeur de i par 1, puis 2, puis 3… jusqu’à 100 et on les additionne. Cette somme est la somme de Gauss.
Questions
- Q1 : Le nombre 2,26232623... est-il irrationnel ?
- Q2 : Qu’en est-il du nombre 1,66432696… ?
La lettre π (pi)
La lettre grecque π correspond à la constante de proportionnalité entre le diamètre et le périmètre d’un cercle, elle est d’ailleurs la première lettre du mot "périmètre" en grec : περίμετρος.
Cette lettre π est également appelée constante d’Archimède puisqu’il a été le premier mathématicien à montrer que sa valeur est comprise entre 223/71 et 22/7. Pour cela, il a calculé l’aire d’un polygone à 4 côtés (carré) à l’intérieur d’un cercle et dont ses sommets sont sur le cercle, puis il a refait ses calculs en augmentant le nombre de côtés afin de donner une estimation de l’aire du cercle.
Maintenant, π est très utilisé au sujet des nombres complexes, notamment dans la formule d’Euler qui consiste à écrire le nombre sous forme exponentielle, son argument est alors donné en fonction de π grâce au cercle trigonométrique. Voici un exemple de nombre complexe sous forme exponentielle :
Questions
- Q3 : De quel mot grec, la lettre π est-elle l’initiale ?
- Q4 : Quel est l’autre nom de la lettre π ?
Estimation du rayon de la Terre
Dans l’Antiquité, Erathostène, un grand mathématicien et savant grec, a estimé le diamètre de la Terre en se servant de π.Il a remarqué que le soleil était à la verticale à midi le premier jour de l’été à Syène, mais au même moment, le soleil était incliné de 7° avec la verticale à Alexandrie. Sachant que ces deux villes sont séparées par environs 800 km, il a ainsi déterminé une approximation de la circonférence et du rayon de la Terre, et donc son diamètre.
Avec ces informations, il a calculé la circonférence de la Terre en faisant 360 × 800, et le tout divisé par 7 qui correspond à l’angle d’inclinaison. Il trouve alors ~41100 km. Actuellement, elle mesure 40075 km, ces valeurs sont assez proches.
Pour le rayon, il l’a calculé en faisant le résultat trouvé ci-dessus divisé par 2π. Il trouve alors ~6460 km. Le rayon moyen actuel vaut 6371 km.
Questions
- Q5 : Qui a estimé le rayon de la Terre ?
- Q6 : Dans quelles villes a-t-il fait ses observations ?
La lettre Σ (Sigma)
La somme de Gauss se nomme ainsi puisque c’est lui-même qui a découvert la formule qui permet de la calculer plus simplement : il suffit d’écrire tous les termes de la somme à la suite, puis de les réecrire en dessous mais en partant du dernier et on fait la somme, voici un exemple lorsqu’on fait 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 :
On obtient alors 10 × 11. Mais ce résultat et celui de 2 × la somme demandée. Le résultat de cette somme se trouve alors en faisant (10 × 11) / 2.
On note alors
et on lit « la somme pour i allant de 1 à 10 vaut (10 × 11) / 2 ».
Dans le cas d’une somme d’entiers consécutifs de 1 jusqu’à n, on résume la formule ainsi :
Questions
- Q7 : Que vaut la somme des 5 permiers entiers consécutifs ?
- Q8 : De quel grand mathématicien cette somme porte-elle le nom ?
Bibliographie
- Pi, Wikipédia (consulté le 5 avril 2023).
- Sigma, Wikipédia (consulté le 5 avril 2023).
- Taille de la Terre — Comment mesure-t-on ? (universite-paris-saclay.fr) (consulté le 27 avril 2023).
- Archimède, Wikipédia (consulté le 4 mai 2023).
Réponses aux questions
Q1 : Non, ce n’est pas un nombre irrationnel car sa partie décimale se répète (2623).
Q2 : On ne peut pas savoir, ses premiers décimaux ne se répète pas, mais on ne sait pas si c’est le cas pour les chiffres à venir.
Q3 : La lettre pi est l’initiale du mot périmètre.
Q4 : La lettre pi est aussi appelée la constante d’Archimède.
Q5 : C’est Erathostène qui a estimé le rayon de la Terre dans l’Antiquité.
Q6 : Il a fait ses observations à Syène et à Alexandrie.
Q7 : Cette somme vaut 15.
Q8 : Cette somme porte le nom de Gauss.
Rédaction :
Candice Touron, étudiante en 2e année de Licence de mathématiques (2023).
➤ Suite du parcours :
Dirigez-vous vers le jardin partagé l'Arrosoir (vers l'ouest), puis suivez le chemin piétonnier vers le nord du campus par l'allée piétonnière. Vous aurez sur votre gauche la micro-forêt urbaine Arboretoom, et sur votre droite la bibliothèque universitaire. Poursuivez vers le nord en ayant la grande pelouse sur votre gauche et l'Institut Claude Laugénie sur votre droite. Prenez ensuite le chemin vers l'ouest qui contourne le bâtiment Droit-Economie-Gestion, jusqu'à ce que vous trouviez une sculpture métallique en forme de lignes brisées (jaune, rouge et bleue).
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